¿Y este ejercicio? Es una función logarítmica que tiene inscrito un cuadrado en ella, una cosa bastante bizarra, pero que sirve para entender mejor el análisis de funciones y la geometría, es algo así:
Podemos trazar el segmento de recta vertical entre el punto B y el eje de las abscisas. Este segmento se va a llamar BE y al origen le vamos a poner O, queda algo así:
Miremos los triángulos AOD y AEB, los dos son triángulos rectángulos, los dos tienen hipotenusas iguales, porque si ABCD es un cuadrado, tenemos AB = AD. Ahí también marco un par de ángulos en el vértice A, son alfa y beta, como en un cuadrado, los ángulos internos son todos rectos, estos ángulos van a ser complementarios. Tenemos: $$\alpha+\beta = 90º$$.
En los triángulos rectángulos, los ángulos agudos son complementarios, por eso le pongo alfa al ángulo en el vértice D y beta al ángulo en el vértice B, los triángulos AOD y AEB son congruentes por el caso ALA.
Bueno, vamos a hallar la abscisa del punto A, sabiendo que allí tenemos y = 0 y teniendo la expresión de la función:
$$0=log_2(x_A+3)$$
$$2^0=x_A+3$$
$$1=x_A+3$$
$$x_A=1-3$$
$$x_A=-2$$
Esto significa que tenemos AO = 2, y entonces, por congruencia de triángulos, tenemos BE = 2 (AO y BE son catetos adyacentes al ángulo beta). O sea, la ordenada del punto B es 2, nos falta su abscisa, que ya la calculamos:
$$2=log_2(x_B+3)$$
$$2^2=x_B+3$$
$$4=x_B+3$$
$$x_B=1$$
Bien, ahora hallamos la medida del segmento AE, como la diferencia entre las abscisas de los puntos E (igual a la abscisa de B) y A:
$$\overline{AE}=X_B-X_A=1-(-2)$$
$$\overline{AE}=3$$
Ahora tenemos los dos catetos del triángulo AEB, calculamos la hipotenusa que es igual al lado del cuadrado:
$$\overline{AB}=\sqrt{\overline{AE}^2+\overline{BE}^2}$$
$$\overline{AB}=\sqrt{3^2+2^2}$$
$$\overline{AB}=\sqrt{13}$$
Y finalmente, el área del cuadrado es el cuadrado de la medida de los lados, en este caso, la medida de los lados es igual a la de AB:
$$A=\overline{AB}^2=(\sqrt{13})^2$$
$$A=13$$
Y ahí terminamos, el área del cuadrado inscrito es 13.
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